Author Archives: bzzb2015

Euclid’s five postulates in Descartes’ Coordinate System

  1. Introduction

As we learned about the Euclidean geometry and its five basic axioms in class, some terms like “straight line”, “circle”, and “right angle” kept jumping in my mind. I thought I had a picture of them. for example, a straight line is as straight as the rope with a ball attached and hang in the air, and a right angle is shown like a corner of a rectangular table. However, as a math major student, such a simple cognition of them is not enough, I hope to have some more mathematical concept to express them.

  1. The Cartesian coordinate system

2.1 The invention of Cartesian coordinates

In the 17th century, René Descartes (Latinized name: Cartesius), a well-known mathematician and philosopher to today’s people all around the world, published his work La Géométrie , in which he made a breakthrough. More concretely, Descartes uses two straight lines that are perpendicular to each other as axes x, y, and uses these axes to measure the positions of any points in a plane.

2.2 The rule of representing a point in Cartesian coordinates

One point in Cartesian coordinates has two parameters: one is the x parameter, the other is the y parameter. To measure the x parameter, we need to draw a straight line y’ parallel to the y axis(we will discuss the definition of parallel in Cartesian coordinates later) that through the point, and then set the x parameter of that point as the number of the intersection of y’ and x axis, for its y parameter, draw a line x’ parallel to the x axis through the point and take the number on the intersection of x’ and y-axis as this point’s y parameter.

2.3 To express a straight line in Cartesian coordinates

A straight line in Euclidean geometry is a straight object with negligible width and depth. So, it is an idealization of such objects in Euclidean geometry. However, in Cartesian coordinates, a line has a strict definition, a straight line is the set of points that satisfies a certain equation. And the line equation usually can be written as:

A*x + B*y + C = 0,

The A, B, and C are the coefficients of x, y, and constant. Moreover, the -A/B is the slope of the straight line, -C/B is the y-intercept of this line, which means the intersection of the y-axes and the line.

So, all above is how we express a straight line in Cartesian coordinates.

  1. To express the five postulates in the Cartesian coordinate system

1.”To draw a straight line from any point to any point.”

In Cartesian coordinates, to express a line we only need one point and a direction. Suppose we have two points a=(A, C) and b=(B, D). By doing a subtraction of the two points, we can get a vector (B – A, D – C). We only need this vector to provides a direction, which is (B – A)/(D – C). So this unique straight line can be expressed as

(x – A)*(B – A)/(D – C) = y – C;

2.”To produce [extend] a finite straight line continuously in a straight line.”

Any line in Cartesian coordinates is a straight line(infinite). It can be limited by a range for x or y, such as

A*x + B*y + C = 0,( a < x < b or c < y < d)

  • “To describe a circlewith any centerand distance [radius].”

To describe a circle in the Cartesian system, we only need the center’s x and y coordinates (x0, y0), and a distance as the radius r, it is

(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2,

So, above is a typical circle in the Cartesian coordinates.

A right angle in the Cartesian system is always equal to the angle between x and y axes, for x, y axes in the Cartesian system is perpendicular to each others.

  • “That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.”

For the parallel postulate, it is far more easier to be expressed in Cartesian coordinates, suppose we already know a line as

A*x + B*y + C = 0,

And we have a point (x1, y1) out of the line, have the point and a direction of the other line, the slope is – A/B, and the other line can be described as

-A/B*(x – x1) = y – y1;

And it is easy to know these two lines are parallel, because they have same slope and do not share one point. And by the property of Cartesian coordinates, this is the only line that parallel with the first one.

  1. Conclusion

In Euclidean geometry, some concept are hard to imagine or describe, while Cartesian coordinate make it possible and easy to express, such a great combination of geometry and algebra!


Binary numbers: the base of modern science

In the class, we learned about the strange base-60-system of Babylon, and I was wondering were there any other counting system that seems unfamiliar to us.

Because I am taking a programming class, the first thing that came into my mind was the binary system. Binary numbers represent values using only two different symbols: 0(zero) and 1(one). This system seems easier than base-10 system, because we only need to remember two symbols to express all integers. For instance, the first 10 integers in the decimal system (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) can be expressed as : “ 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001.”

  1. Origin of binary numbers

Although occupying more space, the expression of numbers in the binary system seems easier than in the decimal system. Then I am wondering who first invented it? It is said Gottfried Leibniz, a German mathematician and philosopher who is famous for the inventing of Calculus, first discover the modern binary number system and it appears in his article “Explanation of the Binary Arithmetic” . Leibniz also indicated that the ancient ruler of China Fuxi first invented the binary system in his work — “I Ching”; in “I Ching”, the binary numbers are being used to divine the fate of ancient Chinese people, for those people believe that the mysterious secrets of the universe are all in these simple numbers of signs.

Image: BenduKiwi and Machine Elf 1735, via Wikimedia Commons.

  1. The arithmetic of binary numbers

Like the decimal system, binary numbers also have their arithmetic.

  • Addition

Addition is the simplest operation in the binary system. Adding two single-digit binary numbers is relatively easy, like this:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, carry 1 (since 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 21) )

Here when adding two 1s, we carry the value divided by 2, and add the quotient to it the left-next positional value, so multiple-digits number addition is:

0 1 1 0 1

+   1 0 1 1 1


= 1 0 0 1 0 0

  • Subtraction

The subtraction of binary numbers is the inverse operation of addition, when two single-digit number doing a subtraction, like this :
0 − 0 → 0

0 − 1 → 1, borrow 1(from the left-next position)

1 − 0 → 1

1 − 1 → 0

So, likewise, the multiple-digits numbers’ subtraction are like this:

*   * * *   (starred columns are borrowed from)

1 1 0 1 1 1 0

−    1 0 1 1 1


1 0 1 0 1 1 1


Multiplication in binary numbers is simpler than in the decimal system, for two number A and B, there are only two rules:

  1. If the digit in Bis 0, the partial product is also 0
  2. If the digit in B is 1, the partial product is equal to A

For example, the binary numbers 1011 and 1010 are multiplied as follows:

1 0 1 1   (A)

× 1 0 1 0   (B)


0 0 0 0   ← Corresponds to the rightmost ‘zero’ in B

1 0 1 1     ← Corresponds to the next ‘one’ in B

0 0 0 0

+ 1 0 1 1


= 1 1 0 1 1 1 0

And for division, it is the inverse operation of multiplication.

  1. Transfer between binary number and decimal number

How to transfer a binary number into a decimal number? For example:

11011(2) = 1 * 2^4 + 1*2^3+0*2^2+1*2^1+1=27(10)

And the inverse transfer is to count the power of 2s in a decimal number, like:

36(10) = 1*2^5+ 0*2^4 +0*2^3+1*2^2+0*2^1+0*2^0= 100100(2)

  1. The application of binary numbers

The reason why I introduce the binary numbers is that they are the base of modern science, especially the computer science. The basic element of a computer is the logical circuit, which only has two basic situations: 0 for switch off, and 1 for switch on. As the old saying: less is more. The binary system is coincidentally perfectly fitting the feature of the logical circuit(0 for no, and 1 for yes). And the logical circuit led to the invent of computer. For example, when calculating, the computer will translate the numbers into binary form and do the operations, and then transfer the answer back to decimal number like it shown above.

  • Conclusion

It is unbelievable when you think of the powerful computer is based on the binary system, and considering the huge works computer have done so far, we can say that the binary system is the key of modern science and technologies. Even when I am typing this article, the binary numbers keep working in my computer.